কেন আমরা শূন্য দিয়ে ভাগ করব না?
সন্তুষ্ট
পাঠকরা ভাবতে পারেন কেন আমি একটি সম্পূর্ণ নিবন্ধ এমন একটি সাধারণ বিষয়ে উৎসর্গ করব? এর কারণ হল, ছাত্রছাত্রীদের (!) সংখ্যায় অসতর্কতাবশত নামে অভিযান চালানো। আর শুধু ছাত্ররা নয়। মাঝে মাঝে ধরি আর শিক্ষক। এমন শিক্ষকের শিক্ষার্থীরা গণিতে কী করতে পারবে? এই পাঠ্যটি লেখার তাত্ক্ষণিক কারণটি ছিল একজন শিক্ষকের সাথে কথোপকথন যার জন্য শূন্য দিয়ে ভাগ করা কোনও সমস্যা ছিল না ...
শূন্যের সাথে, হ্যাঁ, ঝামেলা ছাড়া আর কিছুই নেই, কারণ আমাদের দৈনন্দিন জীবনে এটি ব্যবহার করার দরকার নেই। আমরা শূন্য ডিমের জন্য কেনাকাটা করতে যাই না। "রুমে একজন আছে" শব্দটি একরকম স্বাভাবিক এবং "শূন্য মানুষ" কৃত্রিম শোনাচ্ছে। ভাষাবিদরা বলেন যে শূন্য ভাষা ব্যবস্থার বাইরে।
আমরা ব্যাঙ্ক অ্যাকাউন্টে শূন্য ছাড়াও করতে পারি: শুধু ব্যবহার করুন - থার্মোমিটারের মতো - ইতিবাচক এবং নেতিবাচক মানের জন্য লাল এবং নীল (মনে রাখবেন যে তাপমাত্রার জন্য ধনাত্মক সংখ্যার জন্য লাল ব্যবহার করা স্বাভাবিক, এবং ব্যাঙ্ক অ্যাকাউন্টগুলির জন্য এটি এটি অন্যভাবে, কারণ ডেবিট একটি সতর্কতা ট্রিগার করবে, তাই লালটি অত্যন্ত সুপারিশ করা হয়)।
শূন্যকে একটি স্বাভাবিক সংখ্যা হিসাবে অন্তর্ভুক্ত করে, আমরা পার্থক্যের সমস্যাটিকে স্পর্শ করি মৌলিক সংখ্যা od পরিবারের. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ….. এর মধ্যে
সংখ্যার শক্তি যেখানে অবস্থান করে সেই স্থানের সংখ্যার সমান। অন্যথায়, এটি ইতিমধ্যেই 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ….. অনুক্রমের মধ্যে রয়েছে।
সিঙ্গেলটন সেটের সংখ্যা দ্বিতীয়, দুটি উপাদান সহ সেটের সংখ্যা তৃতীয়, ইত্যাদি। আমাদের ব্যাখ্যা করতে হবে কেন, উদাহরণস্বরূপ, আমরা স্ক্র্যাচ থেকে প্রতিযোগিতায় ক্রীড়াবিদদের স্থান সংখ্যা করি না। তারপর প্রথম স্থানের বিজয়ী একটি রৌপ্য পদক পাবে (স্বর্ণ শূন্য-স্থান বিজয়ীর কাছে গেছে), এবং আরও অনেক কিছু। কিছুটা অনুরূপ পদ্ধতি ফুটবলে ব্যবহৃত হয়েছিল - আমি জানি না পাঠকরা জানেন যে "লীগ ওয়ান" মানে " সেরা অনুসরণ করুন।" ", এবং শূন্য লীগকে "প্রধান লীগ" হতে বলা হয়।
কখনও কখনও আমরা যুক্তি শুনতে পাই যে আমাদের স্ক্র্যাচ থেকে শুরু করা দরকার, কারণ এটি আইটি লোকেদের জন্য সুবিধাজনক। এই বিবেচনাগুলি অব্যাহত রেখে, একটি কিলোমিটারের সংজ্ঞা পরিবর্তন করা উচিত - এটি 1024 মিটার হওয়া উচিত, কারণ এটি একটি কিলোবাইটে বাইটের সংখ্যা (আমি কম্পিউটার বিজ্ঞানীদের কাছে পরিচিত একটি কৌতুক উল্লেখ করব: "একজন নবীন ব্যক্তি এবং এর মধ্যে পার্থক্য কী? কম্পিউটার সায়েন্সের একজন ছাত্র এবং এই অনুষদের একজন পঞ্চম বর্ষের ছাত্র? যে এক কিলোবাইট হল 1000 কিলোবাইট, শেষ - যে এক কিলোমিটার হল 1024 মিটার")!
আরেকটি দৃষ্টিকোণ, যা ইতিমধ্যে গুরুত্ব সহকারে নেওয়া উচিত, এটি হল: আমরা সর্বদা স্ক্র্যাচ থেকে পরিমাপ করি! শাসকের উপর, পরিবারের স্কেলগুলিতে, এমনকি ঘড়িতেও যে কোনও স্কেল দেখতে যথেষ্ট। যেহেতু আমরা শূন্য থেকে পরিমাপ করি, এবং গণনাকে একটি মাত্রাবিহীন এককের পরিমাপ হিসাবে বোঝা যায়, তাই আমাদের শূন্য থেকে গণনা করা উচিত।
এটা একটা সহজ ব্যাপার, কিন্তু...
আসুন সাধারণ যুক্তি ছেড়ে শূন্য দিয়ে বিভাজনে ফিরে আসি। ব্যাপারটা সহজ এবং এটা না হলে সহজ হতো...তাহলে কি? আসুন চিন্তা করি এবং চেষ্টা করি। এটি কত হতে পারে - এককে শূন্য দিয়ে ভাগ করলে? দেখা যাক: 1/0 = x। বাম পাশের হর দিয়ে উভয় পক্ষকে গুণ করুন।
আমরা 1=0 পাই। কিছু একটা সমস্যা! কি হলো? আহ অনুমান! একতা এবং শূন্যের ভাগফল আছে এমন অনুমান একটি দ্বন্দ্বের দিকে নিয়ে যায়। আর যদি একটিকে শূন্য দিয়ে ভাগ করা যায় না, তবে আরেকটি সংখ্যাও পারে। পাঠক, আপনি যদি আপনার কাঁধ ঝাঁকান এবং আশ্চর্য হন যে কেন লেখক (অর্থাৎ আমি) এই ধরনের অশ্লীলতা সম্পর্কে লেখেন, তাহলে ... আমি খুব খুশি!
সূত্র 0/0 = 0 একটি একগুঁয়ে ভিত্তিতে রক্ষা করা যেতে পারে, কিন্তু এটি নিয়মের বিরোধিতা করে যে একটি সংখ্যাকে নিজের দ্বারা ভাগ করার ফলাফল একটি সমান। একেবারে, কিন্তু ক্যালকুলাসে 0/0, °/° এবং অনুরূপ প্রতীকগুলি সম্পূর্ণ ভিন্ন। এগুলি কোনও সংখ্যাকে বোঝায় না, তবে নির্দিষ্ট ধরণের নির্দিষ্ট ক্রমগুলির জন্য প্রতীকী উপাধি।
একটি বৈদ্যুতিক প্রকৌশল বইতে, আমি একটি আকর্ষণীয় তুলনা পেয়েছি: শূন্য দিয়ে ভাগ করা উচ্চ ভোল্টেজ বিদ্যুতের মতোই বিপজ্জনক। এটি স্বাভাবিক: ওহমের সূত্র বলে যে ভোল্টেজ এবং প্রতিরোধের অনুপাত বর্তমানের সমান: V = U/R. যদি প্রতিরোধ শূন্য হয়, একটি তাত্ত্বিকভাবে অসীম কারেন্ট কন্ডাক্টরের মধ্য দিয়ে প্রবাহিত হবে, সমস্ত সম্ভাব্য পরিবাহীকে পুড়িয়ে ফেলবে।
আমি একবার সপ্তাহের প্রতিটি দিনের জন্য শূন্য দিয়ে ভাগ করার বিপদ সম্পর্কে একটি কবিতা লিখেছিলাম। আমার মনে আছে যে সবচেয়ে নাটকীয় দিনটি ছিল বৃহস্পতিবার, কিন্তু এই এলাকায় আমার সমস্ত কাজের জন্য এটি একটি দুঃখের বিষয়।
যখন আপনি কোন কিছুকে শূন্য দিয়ে ভাগ করেন
সোমবার খুব ভোরে
সপ্তাহে কি ঘটেছে
আপনি ইতিমধ্যে খারাপভাবে ব্যর্থ হয়েছে.
মঙ্গলবার দুপুরে যখন ড
আপনি হর মধ্যে শূন্য রাখুন
আমি তখন তোমাকে বলব, তুমি ভুল
খারাপ গণিতবিদ!
যখন শূন্যের মধ্য দিয়ে, বিকৃতির মধ্য দিয়ে,
বুধবার বিচ্ছেদ চাই
অনেক ঝামেলায় পড়বেন
তোমার মাথায় খড় আর জল আছে!
একজন নির্দিষ্ট বারটেক আমাদের সাথে ছিলেন।
তিনি নিয়মের সাথে বিরোধী ছিলেন।
বৃহস্পতিবার, এটি শূন্য দ্বারা বিভাজ্য।
সে আর আমাদের মাঝে নেই!
যদি কোন অদ্ভূত আকাঙ্ক্ষা তোমাকে আঁকড়ে ধরে
শুক্রবার শূন্য দিয়ে ভাগ করুন
আমি সৎ হব, আমি সৎ হব:
এই সপ্তাহান্তে খারাপ শুরু।
যখন এটা শূন্য, কোথাও শনিবার
বিভাজক আপনার হবে (গাঢ় নয়)
গির্জার বেড়া অধীনে হাঁটু.
এটা তোমার পুনরুত্থান।
আপনি কি ড্যাশের নীচে শূন্য চান,
রবিবার ছুটি দিন
চক, ব্ল্যাকবোর্ড আনুন।
লিখুন: এটা শূন্য দিয়ে বিভাজ্য নয়!
শূন্যতা এবং শূন্যতার সাথে যুক্ত। প্রকৃতপক্ষে, তিনি গণিতে এমন একটি পরিমাণ হিসাবে এসেছেন যা, যে কোনোটিতে যোগ করা হলে, এটি পরিবর্তন হয় না: x + 0 = x। কিন্তু এখন শূন্য অন্যান্য বেশ কয়েকটি মানগুলিতে প্রদর্শিত হয়, বিশেষত যেমন স্কেল শুরু. যদি জানালার বাইরে ইতিবাচক তাপমাত্রা বা তুষারপাত না থাকে তবে ... এটি শূন্য, যার অর্থ এই নয় যে তাপমাত্রা নেই। একটি শূন্য-শ্রেণীর স্মৃতিস্তম্ভ এমন নয় যা দীর্ঘদিন ধরে ভেঙে ফেলা হয়েছে এবং কেবল বিদ্যমান নেই। বিপরীতে, এটি ওয়াওয়েল, আইফেল টাওয়ার এবং স্ট্যাচু অফ লিবার্টির মতো কিছু।
ঠিক আছে, একটি অবস্থানগত ব্যবস্থায় শূন্যের গুরুত্ব খুব কমই মূল্যায়ন করা যেতে পারে। আপনি কি জানেন, পাঠক, বিল গেটসের ব্যাঙ্ক অ্যাকাউন্টে কতটি শূন্য রয়েছে? আমি জানি না, কিন্তু আমি অর্ধেক চাই। দৃশ্যত, নেপোলিয়ন বোনাপার্ট লক্ষ্য করেছিলেন যে মানুষ শূন্যের মতো: তারা অবস্থানের মাধ্যমে অর্থ অর্জন করে। আন্দ্রেজ ওয়াজদার ফিল্ম অ্যাজ দ্য ইয়ারস, অ্যাজ দ্য ডেজ গো বাই, আবেগপ্রবণ শিল্পী জের্জি বিস্ফোরিত হয়েছে: "ফিলিস্তিন শূন্য, নিহিল, কিছুই, কিছুই নয়, নিহিল, শূন্য।" কিন্তু শূন্য ভাল হতে পারে: "আদর্শ থেকে শূন্য বিচ্যুতি" এর অর্থ হল সবকিছু ঠিকঠাক চলছে এবং এটি চালিয়ে যান!
গণিতে ফিরে আসা যাক। দায়মুক্তির সাথে শূন্য যোগ, বিয়োগ এবং গুণ করা যায়। "আমি শূন্য কিলোগ্রাম অর্জন করেছি," মান্য আনিয়াকে বলে। "এবং এটি আকর্ষণীয়, কারণ আমি একই ওজন হারিয়েছি," আনিয়া উত্তর দেয়। তাই আসুন ছয়বার আইসক্রিমের ছয় জিরো সার্ভিং খাই, এতে আমাদের কোনো ক্ষতি হবে না।
আমরা শূন্য দিয়ে ভাগ করতে পারি না, তবে আমরা শূন্য দিয়ে ভাগ করতে পারি। যারা খাবারের জন্য অপেক্ষা করছেন তাদের হাতে জিরো ডাম্পলিংসের একটি প্লেট সহজেই তুলে দেওয়া যেতে পারে। প্রত্যেকে কত পাবে?
শূন্য ইতিবাচক বা নেতিবাচক নয়। এই এবং সংখ্যা অ ইতিবাচকи অ নেতিবাচক. এটি x≥0 এবং x≤0 অসমতাকে সন্তুষ্ট করে। দ্বন্দ্ব "কিছু ইতিবাচক" "কিছু নেতিবাচক" নয়, কিন্তু "কিছু নেতিবাচক বা শূন্যের সমান"। গণিতবিদরা, ভাষার নিয়মের বিপরীতে, সর্বদা বলবেন যে কিছু "শূন্যের সমান" এবং "শূন্য" নয়। এই অনুশীলনকে ন্যায্যতা দেওয়ার জন্য, আমাদের আছে: যদি আমরা x = 0 "x হল শূন্য" সূত্রটি পড়ি, তাহলে x = 1 আমরা পড়ি "x সমান এক", যা গ্রাস করা যেতে পারে, কিন্তু "x = 1534267" সম্পর্কে কী হবে? এছাড়াও আপনি অক্ষর 0-এ একটি সংখ্যাসূচক মান নির্ধারণ করতে পারবেন না0বা শূন্যকে নেতিবাচক শক্তিতে বাড়াবেন না। অন্যদিকে, আপনি ইচ্ছামত শূন্য রুট করতে পারেন... এবং ফলাফল সর্বদা শূন্য হবে।
সূচকীয় ফাংশন y = ax, a এর ধনাত্মক ভিত্তি কখনই শূন্য হয় না। এটি অনুসরণ করে যে কোন শূন্য লগারিদম নেই। প্রকৃতপক্ষে, a থেকে বেস b এর লগারিদম হল সেই সূচক যার দিকে a-এর লগারিদম পাওয়ার জন্য বেসটিকে উঠাতে হবে। a = 0 এর জন্য, এমন কোন সূচক নেই, এবং শূন্য লগারিদমের ভিত্তি হতে পারে না। যাইহোক, নিউটনের প্রতীকের "হর"-এ শূন্য অন্য কিছু। আমরা অনুমান করি যে এই সম্মেলনগুলি একটি দ্বন্দ্বের দিকে নিয়ে যায় না।
মিথ্যা প্রমাণ
শূন্য দ্বারা বিভাজন মিথ্যা প্রমাণের জন্য একটি সাধারণ বিষয় এবং এটি এমনকি অভিজ্ঞ গণিতবিদদের ক্ষেত্রেও ঘটে। আমি আপনাকে আমার প্রিয় দুটি উদাহরণ দিতে দিন. প্রথমটি বীজগণিত। আমি "প্রমাণ" করব যে সমস্ত সংখ্যা সমান। ধরুন দুটি সংখ্যা সমান নয়। অতএব, তাদের একটি অন্যটির চেয়ে বড়, ধরুন a > b। ধরা যাক c তাদের পার্থক্য
c \uXNUMXd a - b তাই আমাদের আছে a - b = c, যেখান থেকে a = b + c।
আমরা পরেরটির উভয় অংশকে a - b দ্বারা গুণ করি:
a2 – ab = ab + ac – b2 – bc.
আমি বাম দিকে ak অনুবাদ করি, অবশ্যই আমার চিহ্ন পরিবর্তনের কথা মনে আছে:
a2 – ab – ac = ab – b2 – bc।
আমি সাধারণ কারণগুলি বাদ দিই:
A (a-b-c) \uXNUMXd b (a-b-c),
আমি শেয়ার করি এবং আমি যা চাই তা আমার কাছে আছে:
a = খ.
এবং আসলে এমনকি অপরিচিত, কারণ আমি ধরে নিয়েছিলাম যে a > b, এবং আমি পেয়েছি a = b। উপরের উদাহরণে যদি "প্রতারণা" চেনা সহজ হয়, তাহলে নীচের জ্যামিতিক প্রমাণে এটি এত সহজ নয়। আমি প্রমাণ করব যে ... ট্র্যাপিজয়েডের অস্তিত্ব নেই। সাধারণত ট্র্যাপিজয়েড নামে পরিচিত চিত্রটির অস্তিত্ব নেই।
তবে প্রথমে ধরুন যে একটি ট্র্যাপিজয়েড (নীচের চিত্রে ABCD) এর মতো একটি জিনিস রয়েছে। এর দুটি সমান্তরাল দিক ("বেস") রয়েছে। আসুন এই ঘাঁটিগুলিকে প্রসারিত করি, যেমন ছবিতে দেখানো হয়েছে, যাতে আমরা একটি সমান্তরালগ্রাম পাই। এর কর্ণগুলি ট্র্যাপিজয়েডের অন্যান্য কর্ণকে সেগমেন্টে বিভক্ত করে যার দৈর্ঘ্য x, y, z হিসাবে চিহ্নিত করা হয় চিত্র 1. সংশ্লিষ্ট ত্রিভুজগুলির সাদৃশ্য থেকে, আমরা অনুপাতগুলি পাই:
যেখানে আমরা সংজ্ঞায়িত করি:
ওরাজ
যেখানে আমরা সংজ্ঞায়িত করি:
তারকাচিহ্ন দ্বারা চিহ্নিত সমতার দিকগুলি বিয়োগ করুন:
উভয় দিককে x − z দ্বারা সংক্ষিপ্ত করলে, আমরা পাব – a/b = 1, যার মানে হল a + b = 0। কিন্তু সংখ্যা a, b হল ট্র্যাপিজয়েডের বেসের দৈর্ঘ্য। যদি তাদের যোগফল শূন্য হয়, তাহলে তারাও শূন্য। এর মানে হল ট্র্যাপিজয়েডের মতো একটি চিত্র থাকতে পারে না! এবং যেহেতু আয়তক্ষেত্র, রম্বস এবং বর্গগুলিও ট্র্যাপিজয়েড, তাই প্রিয় পাঠক, এখানে কোন রম্বস, আয়তক্ষেত্র এবং বর্গক্ষেত্র নেই ...
অনুমান অনুমান
তথ্য ভাগাভাগি চারটি মৌলিক কার্যক্রমের মধ্যে সবচেয়ে আকর্ষণীয় এবং চ্যালেঞ্জিং। এখানে, প্রথমবারের মতো, আমরা প্রাপ্তবয়স্কদের মধ্যে এত সাধারণ একটি ঘটনার সম্মুখীন হই: "উত্তরটি অনুমান করুন এবং তারপরে আপনি সঠিক অনুমান করেছেন কিনা তা পরীক্ষা করুন।" ড্যানিয়েল কে. ডেনেট (“কিভাবে ভুল করবেন?”, কিভাবে ইট ইজ – এ সায়েন্টিফিক গাইড টু দ্য ইউনিভার্স, সিআইএস, ওয়ারশ, 1997) দ্বারা এটি অত্যন্ত যথাযথভাবে প্রকাশ করেছেন:
"অনুমান" করার এই পদ্ধতিটি আমাদের প্রাপ্তবয়স্কদের জীবনে হস্তক্ষেপ করে না - সম্ভবত কারণ আমরা এটি প্রথম দিকে শিখি এবং অনুমান করা কঠিন নয়। আদর্শগতভাবে, একই ঘটনা ঘটে, উদাহরণস্বরূপ, গাণিতিক (সম্পূর্ণ) আনয়নে। একই জায়গায়, আমরা সূত্রটি "অনুমান" করি এবং তারপর আমাদের অনুমান সঠিক কিনা তা পরীক্ষা করি। শিক্ষার্থীরা সর্বদা জিজ্ঞাসা করে: "আমরা কীভাবে প্যাটার্নটি জানলাম? এটা কিভাবে বের করা যায়?" যখন ছাত্ররা আমাকে এই প্রশ্নটি জিজ্ঞাসা করে, আমি তাদের প্রশ্নটিকে একটি রসিকতায় পরিণত করি: "আমি এটি জানি কারণ আমি একজন পেশাদার, কারণ আমাকে জানার জন্য অর্থ প্রদান করা হয়।" স্কুলে ছাত্রদের একই শৈলীতে উত্তর দেওয়া যেতে পারে, শুধুমাত্র আরও গুরুতরভাবে।
ব্যায়াম. মনে রাখবেন যে আমরা সর্বনিম্ন একক দিয়ে যোগ এবং লিখিত গুন শুরু করি এবং সর্বোচ্চ একক দিয়ে ভাগ করি।
দুটি ধারণার সংমিশ্রণ
গণিত শিক্ষকরা সর্বদা নির্দেশ করেছেন যে আমরা যাকে প্রাপ্তবয়স্কদের বিচ্ছেদ বলি তা হল দুটি ধারণাগতভাবে ভিন্ন ধারণার মিলন: হাউজিং i বিচ্ছেদ.
প্রথমটি (হাউজিং) কাজগুলিতে ঘটে যেখানে আর্কিটাইপ হয়:
ভাগ-ভাগ করা এগুলি যেমন কাজগুলি:
? (আমরা এই সমস্যার মূল শৈলীটি ধরে রেখেছি, 1892 সালে ক্রাকোতে প্রকাশিত জুলিয়ান জগোজালেউইচের হ্যান্ডবুক থেকে নেওয়া - জ্লোটি হল রেনিশ জ্লোটি, মুদ্রা যা অস্ট্রো-হাঙ্গেরিয়ান সাম্রাজ্যে XNUMX শতকের শুরু পর্যন্ত প্রচলিত ছিল)।
এখন দুটি সমস্যা বিবেচনা করুন পোলিশ ভাষায় প্রাচীনতম গণিতের পাঠ্যপুস্তক, পিতা টমাস ক্লোস (1538)। এটি একটি বিভাগ বা একটি কুপ? XNUMX শতকের স্কুলছাত্রীদের যেভাবে এটি সমাধান করা উচিত:
(পোলিশ থেকে পোলিশ অনুবাদ: একটি ব্যারেলে একটি কোয়ার্ট এবং চারটি পাত্র রয়েছে। একটি পাত্র হল চার কোয়ার্ট। কেউ বাণিজ্যের জন্য 20 zł দিয়ে 50 ব্যারেল ওয়াইন কিনেছে। শুল্ক এবং কর (আবগারি?) হবে 8 zł। কত 8 zł উপার্জন করতে এক কোয়ার্ট বিক্রি করবেন?)
খেলাধুলা, পদার্থবিদ্যা, সঙ্গতি
কখনও কখনও খেলাধুলায় আপনাকে কিছুকে শূন্য দিয়ে ভাগ করতে হয় (গোল অনুপাত)। ওয়েল, বিচারক একরকম এটি মোকাবেলা. যাইহোক, বিমূর্ত বীজগণিতে তারা এজেন্ডায় রয়েছে। অ-শূন্য পরিমাণযার বর্গ শূন্য। এটা এমনকি সহজভাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে.
একটি ফাংশন F বিবেচনা করুন যা সমতলের একটি বিন্দু (x, y) এর সাথে একটি বিন্দু (y, 0) যুক্ত করে। এফ কি?2, যে, F এর একটি ডবল মৃত্যুদন্ড? জিরো ফাংশন - প্রতিটি বিন্দুতে একটি চিত্র (0,0) রয়েছে।
অবশেষে, অ-শূন্য পরিমাণ যার বর্গ হল 0 পদার্থবিদদের জন্য প্রায় প্রতিদিনের রুটি এবং a + bε ফর্মের সংখ্যা, যেখানে ε ≠ 0, কিন্তু ε2 = 0, গণিতবিদদের ডাক দ্বিগুণ সংখ্যা. এগুলি গাণিতিক বিশ্লেষণে এবং ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতিতে ঘটে।
সর্বোপরি, পাটিগণিতের মধ্যে এমন কিছু আছে যার অন্তত নামে শূন্য দিয়ে বিভাজন আছে। এটা আসে একত্রিত. Z দ্বারা পূর্ণসংখ্যার সেট বোঝানো যাক। জেড সেটটিকে p দ্বারা ভাগ করার অর্থ হল যে আমরা প্রতিটি সংখ্যাকে (পূর্ণসংখ্যা) অন্য কিছুর সাথে সমান করি, যথা, যাদের দ্বারা তাদের পার্থক্য বিভাজ্য। সুতরাং, যখন আমাদের কাছে 0, 1, 2, 3, 4 সংখ্যার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ পাঁচ ধরনের সংখ্যা থাকে - 5 দ্বারা ভাগ করলে সম্ভাব্য অবশিষ্টাংশ। সূত্রটি এভাবে লেখা হয়:
mod যখন পার্থক্য একাধিক হয়।
= 2 এর জন্য, আমাদের কাছে মাত্র দুটি সংখ্যা রয়েছে: 0 এবং 1। পূর্ণসংখ্যাকে এই ধরনের দুটি শ্রেণীতে ভাগ করা তাদের জোড় এবং বিজোড় ভাগে ভাগ করার সমতুল্য। এখন এটি প্রতিস্থাপন করা যাক. পার্থক্য সর্বদা 1 দ্বারা বিভাজ্য (যেকোন পূর্ণসংখ্যা 1 দ্বারা বিভাজ্য)। এটা কি =0 নেওয়া সম্ভব? আসুন চেষ্টা করি: কখন দুটি সংখ্যার পার্থক্য শূন্যের গুণিতক হয়? শুধুমাত্র এই দুটি সংখ্যা সমান হলেই। সুতরাং শূন্য দ্বারা পূর্ণসংখ্যার একটি সেটকে ভাগ করা অর্থপূর্ণ, তবে এটি আকর্ষণীয় নয়: কিছুই ঘটে না। যাইহোক, এটি জোর দেওয়া উচিত যে এটি প্রাথমিক বিদ্যালয় থেকে পরিচিত অর্থে সংখ্যার বিভাজন নয়।
এই ধরনের কর্ম সহজভাবে নিষিদ্ধ, সেইসাথে দীর্ঘ এবং প্রশস্ত গণিত।
ভাত। 2. তুলনা ব্যবহার করে সংখ্যা সনাক্তকরণ
(মোড 5 এবং মোড 2)
