গণিতের অবাস্তব জগতে যাত্রা
কম্পিউটার বিজ্ঞানের একটি কলেজে বক্তৃতা এবং অনুশীলনের পরে আমি এই নিবন্ধটি একটি পরিবেশে লিখেছিলাম। আমি এই বিদ্যালয়ের শিক্ষার্থীদের সমালোচনার বিরুদ্ধে, তাদের জ্ঞান, বিজ্ঞানের প্রতি মনোভাব এবং সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণভাবে তাদের শিক্ষাদানের দক্ষতার বিরুদ্ধে নিজেকে রক্ষা করি। এটা... কেউ তাদের শেখায় না।
কেন আমি এত আত্মরক্ষামূলক? একটি সাধারণ কারণে - আমি এমন একটি বয়সে আছি যখন, সম্ভবত, আমাদের চারপাশের বিশ্ব এখনও বোঝা যায় না। হয়তো আমি তাদের শিখিয়ে দিচ্ছি ঘোড়ার জোতা ও হাত ছাড়া করতে, এবং গাড়ি চালাতে না? হয়তো আমি তাদের কলম দিয়ে লিখতে শেখাবো? যদিও একজন ব্যক্তির সম্পর্কে আমার আরও ভাল মতামত আছে, আমি নিজেকে "অনুসরণ করছি" বলে মনে করি, কিন্তু…
সম্প্রতি পর্যন্ত, উচ্চ বিদ্যালয়ে, তারা জটিল সংখ্যা সম্পর্কে কথা বলত। এবং এই বুধবারই আমি বাড়িতে এসেছিলাম, ছেড়ে দিয়েছিলাম - প্রায় কেউই এখনও শিখেনি যে এটি কী এবং কীভাবে এই নম্বরগুলি ব্যবহার করতে হয়। কেউ কেউ অঙ্কিত দরজায় হংসের মতো সমস্ত গণিতের দিকে তাকায়। কিন্তু আমি সত্যিই অবাক হয়েছিলাম যখন তারা আমাকে শিখতে বলেছিল। সহজ কথায়, একটি বক্তৃতার প্রতিটি ঘন্টা হল দুই ঘন্টার হোমওয়ার্ক: একটি পাঠ্যপুস্তক পড়া, একটি প্রদত্ত বিষয়ে সমস্যাগুলি কীভাবে সমাধান করতে হয় তা শেখা ইত্যাদি। এইভাবে প্রস্তুত করার পরে, আমরা অনুশীলনে আসি, যেখানে আমরা সবকিছুর উন্নতি করি ... আনন্দদায়কভাবে, শিক্ষার্থীরা, স্পষ্টতই, ভেবেছিল যে বক্তৃতায় বসে - প্রায়শই জানালার বাইরে তাকানো - ইতিমধ্যেই মাথায় জ্ঞানের প্রবেশের গ্যারান্টি দেয়।
থামো! এই যথেষ্ট. আমি জাতীয় শিশু তহবিল থেকে ফেলোদের সাথে ক্লাস চলাকালীন প্রাপ্ত একটি প্রশ্নের উত্তর বর্ণনা করব, একটি প্রতিষ্ঠান যা সারা দেশের মেধাবী শিশুদের সহায়তা করে। প্রশ্ন (বা বরং পরামর্শ) ছিল:
- আপনি কি আমাদের অবাস্তব সংখ্যা সম্পর্কে কিছু বলতে পারেন?
"অবশ্যই," আমি উত্তর দিলাম।
সংখ্যার বাস্তবতা
"একজন বন্ধু আরেকজন আমি, বন্ধুত্ব হল 220 এবং 284 সংখ্যার অনুপাত," পিথাগোরাস বলেছিলেন। এখানে বিন্দু হল যে 220 নম্বরের ভাজকের যোগফল হল 284, এবং 284 নম্বরের ভাজকের যোগফল হল 220:
1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220
1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284
220 এবং 284 সংখ্যার মধ্যে আরেকটি আকর্ষণীয় কাকতালীয় হল: সতেরোটি সর্বোচ্চ মৌলিক সংখ্যা হল 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53 , এবং 59.
তাদের যোগফল 2x220, এবং বর্গক্ষেত্রের যোগফল 59x284।
প্রথম। "বাস্তব সংখ্যা" এর কোন ধারণা নেই। এটা হাতি সম্পর্কে একটি নিবন্ধ পড়ার পরে, আপনি জিজ্ঞাসা করুন, "এখন আমরা নন-হাতিদের জন্য জিজ্ঞাসা করতে যাচ্ছি।" সম্পূর্ণ এবং অ-সমগ্র, যুক্তিযুক্ত এবং অযৌক্তিক আছে, কিন্তু কোন অবাস্তব নেই। বিশেষভাবে: যে সংখ্যাগুলো বাস্তব নয় সেগুলোকে অবৈধ বলা হয় না। গণিতে অনেক ধরণের "সংখ্যা" রয়েছে এবং তারা একে অপরের থেকে আলাদা, যেমন - একটি প্রাণীবিদ্যার তুলনা নিতে - একটি হাতি এবং একটি কেঁচো।
দ্বিতীয়ত, আমরা এমন ক্রিয়াকলাপগুলি সম্পাদন করব যা আপনি ইতিমধ্যেই নিষিদ্ধ জানেন: ঋণাত্মক সংখ্যার বর্গমূল বের করা। ঠিক আছে, গণিত এই ধরনের বাধা অতিক্রম করবে। এটা যদিও অর্থে করা হয়? গণিতে, অন্য যেকোনো বিজ্ঞানের মতো, একটি তত্ত্ব চিরকালের জন্য জ্ঞানের ভান্ডারে প্রবেশ করে কিনা তা নির্ভর করে... তার প্রয়োগের উপর। যদি এটি অকেজো হয়, তবে তা শেষ হয় আবর্জনার মধ্যে, তারপর জ্ঞানের ইতিহাসের কিছু আবর্জনার মধ্যে। এই নিবন্ধের শেষে আমি যে সংখ্যার কথা বলছি, তা ছাড়া গণিতের বিকাশ করা অসম্ভব। তবে কিছু ছোট জিনিস দিয়ে শুরু করা যাক। বাস্তব সংখ্যা কি, আপনি জানেন. তারা ঘনত্বে এবং ফাঁক ছাড়াই সংখ্যারেখা পূরণ করে। আপনি এও জানেন যে প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলি কী: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. - এগুলির সবগুলি মাপসই হবে না স্মৃতি এমনকি সর্বশ্রেষ্ঠ। তাদের একটি সুন্দর নামও রয়েছে: প্রাকৃতিক। তাদের অনেক আকর্ষণীয় বৈশিষ্ট্য রয়েছে। আপনি এটি কিভাবে পছন্দ করেন:
1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218
12 + + 152 + + 422 + + 982 + + 1232 + + 1792 + + 2062 + + 2202 = 32 + + 112 + + 462 + + 922 + + 1292 + + 1752 + + 2102 + + 2182
13 + + 153 + + 423 + + 983 + + 1233 + + 1793 + + 2063 + + 2203 = 33 + + 113 + + 463 + + 923 + + 1293 + + 1753 + + 2103 + + 2183
14 + + 154 + + 424 + + 984 + + 1234 + + 1794 + + 2064 + + 2204 = 34 + + 114 + + 464 + + 924 + + 1294 + + 1754 + + 2104 + + 2184
15 + + 155 + + 425 + + 985 + + 1235 + + 1795 + + 2065 + + 2205 = 35 + + 115 + + 465 + + 925 + + 1295 + + 1755 + + 2105 + + 2185
16 + + 156 + + 426 + + 983 + + 1236 + + 1796 + + 2066 + + 2206 = 36 + + 116 + + 466 + + 926 + + 1296 + + 1756 + + 2106 + + 2186
17 + + 157 + + 427 + + 983 + + 1237 + + 1797 + + 2067 + + 2207 = 37 + + 117 + + 467 + + 927 + + 1297 + + 1757 + + 2107 + + 2187
"প্রাকৃতিক সংখ্যার প্রতি আগ্রহী হওয়া স্বাভাবিক," কার্ল লিন্ডেনহোম বলেছেন, এবং লিওপোল্ড ক্রোনেকার (1823-1891) সংক্ষিপ্তভাবে বলেছেন: "ঈশ্বর প্রাকৃতিক সংখ্যা সৃষ্টি করেছেন - বাকি সবকিছুই মানুষের কাজ!" ভগ্নাংশ (গণিতবিদদের দ্বারা মূলদ সংখ্যা বলা হয়) এরও আশ্চর্যজনক বৈশিষ্ট্য রয়েছে:
এবং সমতায়:
আপনি, বাম দিক থেকে শুরু করে, প্লাসগুলি ঘষতে পারেন এবং তাদের গুণের চিহ্ন দিয়ে প্রতিস্থাপন করতে পারেন - এবং সমতা সত্য থাকবে:
আর তাই
আপনি জানেন, a/b ভগ্নাংশের জন্য, যেখানে a এবং b পূর্ণসংখ্যা এবং b ≠ 0, তারা বলে মূলদ সংখ্যা. কিন্তু শুধুমাত্র পোলিশ ভাষায় তারা নিজেদেরকে বলে। তারা ইংরেজি, ফরাসি, জার্মান এবং রাশিয়ান ভাষায় কথা বলে। মূলদ সংখ্যা. ইংরেজিতে: মূলদ সংখ্যা। অমূলদ সংখ্যা এটা যুক্তিহীন, অযৌক্তিক। আমরা অযৌক্তিক তত্ত্ব, ধারণা এবং কাজ সম্পর্কে পোলিশ কথা বলি - এটি পাগলামি, কাল্পনিক, ব্যাখ্যাতীত। তারা বলে যে মহিলারা ইঁদুরকে ভয় পায় - এটা কি অযৌক্তিক নয়?
প্রাচীনকালে, সংখ্যার একটি আত্মা ছিল। প্রত্যেকেই কিছু না কিছু বোঝায়, প্রত্যেকেই কিছু না কিছুর প্রতীক, প্রত্যেকেই মহাবিশ্বের সেই সাদৃশ্যের একটি কণা প্রতিফলিত করে, অর্থাৎ গ্রীক ভাষায়, কসমস। "কসমস" শব্দের অর্থ ঠিক "অর্ডার, অর্ডার"। সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ ছিল ছয়টি (নিখুঁত সংখ্যা) এবং দশ, পরপর সংখ্যার যোগফল 1+2+3+4, অন্যান্য সংখ্যার সমন্বয়ে গঠিত যার প্রতীকবাদ আজ পর্যন্ত টিকে আছে। তাই পিথাগোরাস শিখিয়েছিলেন যে সংখ্যাগুলি সবকিছুর শুরু এবং উত্স এবং কেবলমাত্র আবিষ্কার অমূলদ সংখ্যা জ্যামিতির দিকে পিথাগোরিয়ান আন্দোলনকে পরিণত করেছিল। আমরা স্কুল থেকে যুক্তি জানি যে
√2 একটি অমূলদ সংখ্যা
ধরুন যে আছে: এবং এই ভগ্নাংশ কমানো যাবে না। বিশেষ করে, p এবং q উভয়ই বিজোড়। চলো বর্গ: 2q2=p2. সংখ্যা p বিজোড় হতে পারে না, তারপর থেকে p2 এছাড়াও হবে, এবং সমতার বাম দিকটি 2 এর গুণিতক। তাই, p জোড়, অর্থাৎ, p = 2r, তাই p2= 4 আর2. আমরা 2q সমীকরণ কমিয়ে দিই2= 4 আর2 2 দ্বারা। আমরা q পাই2= 2 আর2 এবং আমরা দেখতে পাচ্ছি যে qও জোড় হতে হবে, যা আমরা ধরে নিয়েছি তা নয়। ফলস্বরূপ দ্বন্দ্ব প্রমাণটি সম্পূর্ণ করে - এই সূত্র প্রায়ই প্রতিটি গাণিতিক বই পাওয়া যাবে. এই পরিস্থিতিগত প্রমাণ সোফিস্টদের একটি প্রিয় কৌশল।
এই বিশালতা পিথাগোরিয়ানরা বুঝতে পারেনি। সমস্ত কিছু অবশ্যই সংখ্যা দ্বারা বর্ণনা করতে সক্ষম হতে হবে, এবং একটি বর্গক্ষেত্রের তির্যক, যা যে কেউ বালি জুড়ে একটি লাঠি দিয়ে আঁকতে পারে, তার নেই, অর্থাৎ, পরিমাপযোগ্য, দৈর্ঘ্য। "আমাদের বিশ্বাস বৃথা ছিল," পিথাগোরিয়ানরা বলে মনে হয়। তা কিভাবে? এটা এক ধরনের... অযৌক্তিক. ইউনিয়ন সাম্প্রদায়িক পদ্ধতিতে নিজেকে বাঁচানোর চেষ্টা করেছিল। যে কেউ সাহস করে তাদের অস্তিত্ব প্রকাশ করে অমূলদ সংখ্যা, মৃত্যুদন্ড দিয়ে শাস্তি দেওয়া হয়েছিল, এবং, দৃশ্যত, প্রথম সাজাটি মাস্টার নিজেই করেছিলেন।
কিন্তু "চিন্তা অক্ষত পাস।" স্বর্ণযুগ এসে গেছে। গ্রীকরা পার্সিয়ানদের পরাজিত করেছিল (ম্যারাথন 490, ব্লক 479)। গণতন্ত্র শক্তিশালী হয়েছিল, দার্শনিক চিন্তার নতুন কেন্দ্র এবং নতুন স্কুলের উদ্ভব হয়েছিল। পিথাগোরিয়ানরা তখনও অযৌক্তিক সংখ্যার সাথে লড়াই করছিল। কেউ কেউ প্রচার করেছেন: আমরা এই রহস্য বুঝতে পারব না; আমরা শুধুমাত্র Uncharted এ চিন্তা করতে এবং বিস্মিত করতে পারি। পরেরটি আরও বাস্তববাদী ছিল এবং রহস্যকে সম্মান করেনি। সেই সময়ে, দুটি মানসিক গঠন উপস্থিত হয়েছিল যা অমূলদ সংখ্যা বোঝা সম্ভব করেছিল। সত্য যে আমরা আজ তাদের যথেষ্ট ভালভাবে বুঝতে পারি তা ইউডক্সাস (খ্রিস্টপূর্ব XNUMXম শতাব্দী) এর অন্তর্গত এবং এটি শুধুমাত্র XNUMX শতকের শেষের দিকে ছিল যে জার্মান গণিতবিদ রিচার্ড ডেডেকিন্ড ইউডক্সাসের তত্ত্বকে কঠোরতার প্রয়োজনীয়তা অনুসারে যথাযথ বিকাশ করেছিলেন। গাণিতিক যুক্তি।
পরিসংখ্যান বা নির্যাতনের ভর
আপনি সংখ্যা ছাড়া বাঁচতে পারেন? এমনকি যদি জীবন কেমন হবে... আমাদের একটি লাঠি দিয়ে জুতা কিনতে দোকানে যেতে হবে, যা আমরা আগে পায়ের দৈর্ঘ্য পরিমাপ করেছি। "আমি আপেল চাই, আহ, এটা এখানে!" - আমরা বাজারে বিক্রেতাদের দেখাব। "Modlin থেকে Nowy Dwur Mazowiecki এর দূরত্ব কত"? "চমত্কার বন্ধ!"
সংখ্যা পরিমাপ ব্যবহার করা হয়. তাদের সাহায্যে, আমরা আরও অনেক ধারণা প্রকাশ করি। উদাহরণস্বরূপ, মানচিত্রের স্কেল দেখায় যে দেশের আয়তন কত কমেছে। একটি টু-টু-ওয়ান স্কেল, বা সহজভাবে 2, এই সত্যটি প্রকাশ করে যে কিছু আকারে দ্বিগুণ হয়েছে। আসুন গাণিতিকভাবে বলি: প্রতিটি একজাতীয়তা একটি সংখ্যার সাথে মিলে যায় - এর স্কেল।
কাজের. আমরা একটি জেরোগ্রাফিক অনুলিপি তৈরি করেছি, ছবিটিকে বেশ কয়েকবার বড় করেছিলাম। তারপর বর্ধিত খণ্ডটি আবার বি বার বড় করা হয়েছিল। সাধারণ বিবর্ধন স্কেল কি? উত্তরঃ a × b কে b দ্বারা গুন করা হয়। এই দাঁড়িপাল্লা গুণ করা প্রয়োজন. "মাইনাস ওয়ান" সংখ্যা, -1, একটি সূক্ষ্মতার সাথে মিলে যায় যা কেন্দ্রিক, অর্থাৎ 180 ডিগ্রি ঘোরানো হয়। কোন সংখ্যা একটি 90 ডিগ্রী বাঁক অনুরূপ? এমন কোন সংখ্যা নেই। এটা, এটা… বা বরং, এটা শীঘ্রই হবে. আপনি কি নৈতিক নির্যাতনের জন্য প্রস্তুত? সাহস নিন এবং বিয়োগ এক এর বর্গমূল নিন। আমি কি শুনছি? আপনি কি পারেন না? সর্বোপরি, আমি আপনাকে সাহসী হতে বলেছি। এটা টান আউট! আরে, ভাল, টান, টান... আমি সাহায্য করব... এখানে: -1 এখন আমাদের কাছে এটি আছে, আসুন এটি ব্যবহার করার চেষ্টা করি... অবশ্যই, এখন আমরা সমস্ত ঋণাত্মক সংখ্যার মূল বের করতে পারি, এর জন্য উদাহরণ:
√-4 = 2√-1, √-16 = 4√-1
"মানসিক যন্ত্রণা যাই থাকুক না কেন।" 1539 সালে গিরোলামো কার্ডানো এটিই লিখেছিলেন, যার সাথে যুক্ত মানসিক অসুবিধাগুলি কাটিয়ে উঠতে চেষ্টা করেছিলেন - যেমনটি শীঘ্রই বলা যেতে পারে - কাল্পনিক পরিমাণ. তিনি এসব বিবেচনা করেন...
...কাজের. 10 কে দুটি ভাগে ভাগ করুন, যার গুণফল হল 40। আমার মনে আছে যে আগের পর্ব থেকে তিনি এইরকম কিছু লিখেছিলেন: অবশ্যই অসম্ভব। যাইহোক, আসুন এটি করি: 10 কে দুটি সমান ভাগে ভাগ করুন, প্রতিটি 5 এর সমান। তাদের গুন করুন - এটি 25 পরিণত হয়েছে। ফলাফল 25 থেকে, এখন 40 বিয়োগ করুন, যদি আপনি চান, এবং আপনি -15 পাবেন। এখন দেখুন: √-15 যোগ এবং 5 থেকে বিয়োগ করলে আপনাকে 40 এর গুণফল পাওয়া যায়। এগুলো হল 5-√-15 এবং 5 + √-15 সংখ্যা। ফলাফলের যাচাইকরণটি কার্ডানো দ্বারা নিম্নরূপ করা হয়েছিল:
“হৃদয়ের ব্যথা যাই হোক না কেন, 5 + √-15 কে 5-√-15 দ্বারা গুণ করুন। আমরা পাই 25 - (-15), যা 25 + 15 এর সমান। সুতরাং, গুণফল হল 40...। এটা সত্যিই কঠিন।"
আচ্ছা, কত হল: (1 + √-1) (1-√-1)? এর গুন করা যাক। মনে রাখবেন √-1 × √-1 = -1। দারুণ এখন আরও কঠিন কাজ: a + b√-1 থেকে ab√-1। কি হলো? অবশ্যই, এভাবে: (a + b√-1) (ab√-1) = a2+b2
এই সম্পর্কে আকর্ষণীয় কি? উদাহরণস্বরূপ, আমরা যে অভিব্যক্তিগুলিকে ফ্যাক্টরাইজ করতে পারি যা আমরা "আগে জানতাম না।" জন্য সংক্ষিপ্ত গুণন সূত্র2-b2 আপনার জন্য সূত্র মনে আছে2+b2 এটা ছিল না, কারণ এটা হতে পারে না. বাস্তব সংখ্যার ডোমেনে, বহুপদ2+b2 এটা অনিবার্য। আই অক্ষর দিয়ে "মাইনাস ওয়ান" এর "আমাদের" বর্গমূল বোঝাই।2= -1। এটি একটি "অবাস্তব" মৌলিক সংখ্যা। এবং এটিই একটি বিমানের 90 ডিগ্রি বাঁক বর্ণনা করে। কেন? সর্বোপরি,2= -1, এবং একটি 90-ডিগ্রি ঘূর্ণন এবং আরেকটি 180-ডিগ্রী ঘূর্ণন একত্রিত করলে একটি 45-ডিগ্রী ঘূর্ণন পাওয়া যায়। কি ধরনের ঘূর্ণন বর্ণনা করা হচ্ছে? স্পষ্টতই একটি XNUMX ডিগ্রি বাঁক। -আমি মানে কি? এটা একটু বেশি জটিল:
(-আমি)2 = -i × (-i) = +i2 =-1
তাই -i একটি 90 ডিগ্রী ঘূর্ণন বর্ণনা করে, i এর ঘূর্ণনের ঠিক বিপরীত দিকে। কোনটা বাম আর কোনটা ডান? আপনি একটি অ্যাপয়েন্টমেন্ট করতে হবে. আমরা অনুমান করি যে সংখ্যাটি আমি যে দিকে একটি ঘূর্ণন নির্দিষ্ট করে যা গণিতবিদরা ধনাত্মক বলে মনে করেন: ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে। সংখ্যা -i পয়েন্টারগুলি যে দিকে যাচ্ছে সেদিকে ঘূর্ণন বর্ণনা করে।
কিন্তু i এবং -i মত সংখ্যা বিদ্যমান? হয়! আমরা শুধু তাদের জীবন নিয়ে এসেছি। আমি কি শুনছি? যে তারা শুধু আমাদের মাথায় বিদ্যমান? আচ্ছা কি আশা করব? অন্যান্য সমস্ত সংখ্যা শুধুমাত্র আমাদের মনে বিদ্যমান. আমাদের দেখতে হবে আমাদের নবজাতকের সংখ্যা বেঁচে আছে কিনা। আরো স্পষ্টভাবে, নকশা যৌক্তিক কিনা এবং তারা কিছু জন্য দরকারী হবে কিনা। অনুগ্রহ করে এর জন্য আমার কথা নিন যে সবকিছু ঠিক আছে এবং এই নতুন সংখ্যাগুলি সত্যিই সহায়ক। 3+i, 5-7i এর মত সংখ্যা, আরো সাধারণভাবে: a+bi কে জটিল সংখ্যা বলা হয়। আমি আপনাকে দেখিয়েছি কিভাবে আপনি প্লেন ঘুরিয়ে তাদের পেতে পারেন. এগুলি বিভিন্ন উপায়ে প্রবেশ করা যেতে পারে: একটি সমতলের বিন্দু হিসাবে, কিছু বহুপদ হিসাবে, কিছু ধরণের সংখ্যাসূচক বিন্যাস হিসাবে ... এবং প্রতিটি সময় তারা একই: সমীকরণ x2 +1=0 কোন উপাদান নেই... আগে থেকেই আছে! আসুন আনন্দ করি এবং আনন্দ করি !!!
সফর শেষ
এটি ভুয়া নম্বরের দেশে আমাদের প্রথম সফর শেষ করে। অন্যান্য অসীম সংখ্যার মধ্যে, আমি সেগুলিও উল্লেখ করব যেগুলির সামনে অসীম সংখ্যার সংখ্যা রয়েছে, পিছনে নয় (এগুলিকে 10-অ্যাডিক বলা হয়, আমাদের জন্য p-অ্যাডিক আরও গুরুত্বপূর্ণ, যেখানে p একটি মৌলিক সংখ্যা), জন্য উদাহরণ X = …… … … 96109004106619977392256259918212890625
আসুন X গণনা করা যাক দয়া করে2. হিসাবে? যদি আমরা একটি সংখ্যার বর্গ গণনা করি যার পরে অসীম সংখ্যার সংখ্যা থাকে? আচ্ছা, এর একই কাজ করা যাক. আমরা জানি যে এক্স2 = Х।
সামনে অসীম সংখ্যা সহ এরকম আরেকটি সংখ্যা খুঁজে বের করা যাক যা সমীকরণটি পূরণ করে। ইঙ্গিত: ছয়ে শেষ হওয়া একটি সংখ্যার বর্গও ছয়ে শেষ হয়। 76-এ শেষ হওয়া একটি সংখ্যার বর্গও 76-এ শেষ হয়। 376-এ শেষ হওয়া একটি সংখ্যার বর্গও 376-এ শেষ হয়। 9376-এ শেষ হওয়া একটি সংখ্যার বর্গও 9376-এ শেষ হয়। XNUMX এ… এমন সংখ্যাও রয়েছে যেগুলি এত ছোট যে, ধনাত্মক হওয়ার কারণে, তারা অন্য যে কোনও ধনাত্মক সংখ্যার চেয়ে ছোট থাকে। এগুলি এতই ক্ষুদ্র যে কখনও কখনও শূন্য পাওয়ার জন্য তাদের বর্গ করাই যথেষ্ট। এমন সংখ্যা রয়েছে যা a × b = b × a শর্ত পূরণ করে না। এছাড়াও অসীম সংখ্যা আছে। প্রাকৃতিক সংখ্যা কয়টি? অসীম অনেক? হ্যাঁ, কিন্তু কত? কিভাবে এটি একটি সংখ্যা হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে? উত্তর: অসীম সংখ্যার মধ্যে ক্ষুদ্রতম; এটি একটি সুন্দর অক্ষর দিয়ে চিহ্নিত করা হয়েছে: A এবং একটি শূন্য সূচক A দিয়ে পরিপূরক0 , আলেফ-শূন্য।
এমন সংখ্যাও আছে যেগুলির অস্তিত্ব আমরা জানি না... অথবা আপনি যেভাবে খুশি বিশ্বাস করতে বা অবিশ্বাস করতে পারেন৷ এবং এর মতো কথা বলছি: আমি আশা করি আপনি এখনও অবাস্তব সংখ্যা, ফ্যান্টাসি প্রজাতির সংখ্যা পছন্দ করেন।
